可以找到一组坐标(v1,有助于初专家对齐次坐标的驾驭

 对于一个向量v以及基oabc,能够找到一组坐标(v1,v2,v3),使得v = v1 a +
v2 b + v3 c          (1)
 而对于一个点p,则足以找到一组坐标(p1,p2,p3),使得 p – o = p1 a
+ p2 b + p3 c            (2),
 
从上边对向量和点的表述,我们得以观察为了在坐标系中意味一个点(如p),大家把点的义务看作是对这么些基的原点o所举办的一个运动,即一个向量——p

o(有的书中把这么的向量叫做地方向量——先导于坐标原点的特有向量),我们在表达那个向量的还要用等价的法门发挥出了点p:p= o +
p1 a + p2 b + p3 c (3)
 
(1)(3)是坐标系下公布一个向量和点的例外表明格局。这里可以看出,纵然都是用代数分量的方式发布向量和点,但公布一个点比一个向量要求非凡的消息。即使自身写出一个代数分量表达(1,
4, 7),哪个人知道它是个向量如故个点!
    大家前几天把(1)(3)写成矩阵的款式:v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)
p = (p1 p2 p3 1) X (a b c
o),那里(a,b,c,o)是坐标基矩阵,右侧的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。那样,向量和点在同一个基下就有了分裂的抒发:3D向量的第4个代数分量是0,而3D点的第4个代数分量是1。像那种那种用4个代数分量表示3D几何概念的方法是一种齐次坐标表示。
 
这么,上边的(1, 4,
7)假如写成(1,4,7,0),它就是个向量;若是是(1,4,7,1),它就是个点。下边是怎么着在平凡坐标(Ordinary
Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换:
(1)从平凡坐标转换成齐次坐标时
   如果(x,y,z)是个点,则变为(x,y,z,1);
   若是(x,y,z)是个向量,则变成(x,y,z,0)
(2)从齐次坐标转换成普通坐标时   
   即使是(x,y,z,1),则知道它是个点,变成(x,y,z);
   若是是(x,y,z,0),则知道它是个向量,照旧变成(x,y,z)
 
以上是由此齐次坐标来差别向量和点的点子。从中可以考虑得知,对于平移T、旋转R、缩放S这3个最普遍的仿射变换,平移变换只对于点才有意义,因为一般而言向量没有地点概念,唯有大小和方向.
 
而旋转和缩放对于向量和点都有意义,你能够用接近上面齐次表示来检测。从中可以见到,齐次坐标用于仿射变换格外便利。
 
别的,对于一个一般性坐标的点P=(Px, Py, Pz),有照应的一族齐次坐标(wPx, wPy,
wPz, w),其中w不等于零。比如,P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、(2,
8, 14, 2)、(-0.1, -0.4, -0.7,
-0.1)等等。因而,假若把一个点从经常坐标变成齐次坐标,给x,y,z乘上同一个非零数w,然后增加第4个轻重w;假若把一个齐次坐标转换成普通坐标,把前三个坐标同时除以第4个坐标,然后去掉第4个轻重。
 
鉴于齐次坐标使用了4个轻重来表达3D概念,使得平移变换能够动用矩阵展开,从而如F.S.
希尔,
JR所说,仿射(线性)变换的开展更为有利于。由于图片硬件已经普四处支撑齐次坐标与矩阵乘法,因而更进一步助长了齐次坐标使用,使得它似乎成为图形学中的一个规范。

 要是(x,y,z)是个向量,则改为(x,y,z,0)

一向对齐次坐标这么些概念的精通不够彻底,只见大多数的书中协商“齐次坐标在仿射变换中国和亚洲常的福利”,然后就不曾了后文,后天在一个称呼“三百年
重生”的博客上观看一篇有关透视投影变换的琢磨的小说,其中有对齐次坐标有更加精辟的验证,更加是本着如此一句话举行了强有力的印证:“齐次坐标表示是总结机图形学的要害手段之一,它既可以用来明确区分向量和点,同时也更易用于开展仿射(线性)几何变换。”——F.S.
Hill, JR。

而旋转和缩放对于向量和点都有含义,你可以用接近上面齐次表示来检测。从中可以看来,齐次坐标用于仿射变换万分便于。

要是是(x,y,z,0),则知道它是个向量,依然变成(x,y,z)

   以上很好的论述了齐次坐标的效果及采纳齐次坐标的功利。

p = (p1 p2 p3 1) X (a b c
o),这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵,左边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。那样,向量和点在同一个基下就有了不一致的表明:3D向量的第4个代数分量是0,而3D点的第4个代数分量是1。像那种那种用4个代数分量表示3D几何概念的主意是一种齐次坐标表示。

除此以外,对于一个平日坐标的P=(Px, Py, Pz),有相应的一族齐次坐标(wPx,
wPy, wPz, w),其中w不等于零。比如,P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7,
1)、(2, 8, 14, 2)、(-0.1, -0.4, -0.7,
-0.1)等等。因而,如若把一个点从平日坐标变成齐次坐标,给x,y,z乘上同一个非零数w,然后伸张第4个轻重w;即使把一个齐次坐标转换成普通坐标,把前三个坐标同时除以第4个坐标,然后去掉第4个轻重。

如此,下边的(1, 4,
7)倘若写成(1,4,7,0),它就是个向量;如若是(1,4,7,1),它就是个点。下面是怎样在普通坐标(Ordinary
Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间开展转换:

 若是是(x,y,z,0),则知道它是个向量,仍旧变成(x,y,z)

而对于一个p,则足以找到一组坐标(p1,p2,p3),使得po=
p1
a +p2b+ p3c(2),**

这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵,右侧的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。那样,向量和点在同一个基下就有了分裂的表述:3D向量的第4个代数分量是0,而3D点的第4个代数分量是1。像那种那种用4个代数分量表示3D几何概念的格局是一种齐次坐标表示。

出于小编对齐次坐标真的解释的不错,我就维持原状的摘要过来:

(2)从齐次坐标转换成普通坐标时   

(2)从齐次坐标转换成普通坐标时

v = v1 a + v2 b + v3 c          (1)

假诺(x,y,z)是个向量,则改为(x,y,z,0)

v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o),p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),

以上是由此齐次坐标来区分向量和点的法门。从中能够考虑得知,对于平移T、旋转R、缩放S那3个最广大的仿射变换,平移变换只对于点才有意义,因为日常向量没有地点概念,只有大小和方向.

(1)从不足为奇坐标转换成齐次坐标时

大家前天把(1)(3)写成矩阵的款式:v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)

 (1)(3)是坐标系下发挥一个向量的例外表明形式。那里可以看到,即便都是用代数分量的样式表达向量和点,但表达一个点比一个向量须求额外的音讯。

由于齐次坐标使用了4个轻重来发挥3D概念,使得平移变换可以利用矩阵展开,从而如F.S.
希尔,
JR所说,仿射(线性)变换的进展越发便民。由于图片硬件已经广泛地支撑齐次坐标与矩阵乘法,由此更是助长了齐次坐标使用,使得它犹如成为图形学中的一个专业。

点可以看成是对那一个基的原点o所举办的一个移动,即一个向量——p –
o(有的书中把如此的向量叫做职位向量——初步于坐标原点的异样向量),大家在表述那些向量的同时用等价的法门发挥出了点p:o +
p1 a + p2 b + p3 c (3)

而旋转和缩放对于向量和点都有含义,你可以用类似下边齐次表示来检测。从中可以看出,齐次坐标用于仿射变换相当方便。

        以下对齐次坐标的表明,主要参考在任何博客看到的,非原创,个人认为解释的浅显易懂,有助于初学者对齐次坐标的明白。

如上很好的阐发了齐次坐标的听从及利用齐次坐标的利益。其实在图形学的争论中,很多早已被打包的好的API也是很有探究的,要想变成一名专业的电脑图形学的学习者,除了知其然必须还得知其所以然。那样在境遇标题标时候才能很快定位难点的来源,从而解决难点。

上述是通过齐次坐标来分别向量和点的法门。从中可以考虑得知,对于平移T、旋转R、缩放S那3个最普遍的仿射变换,平移变换只对于点才有含义,因为一般而言向量没有地方概念,唯有大小和方向.

如果(x,y,z)是个点,则变为(x,y,z,1);

 我们现在把(1)(3)写成矩阵的款式:

另外,对于一个日常坐标的P=(Px, Py, Pz),有相应的一族齐次坐标(wPx,
wPy, wPz, w),其中w不等于零。比如,P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7,
1)、(2, 8, 14, 2)、(-0.1, -0.4, -0.7,
-0.1)等等。由此,假若把一个点从平常坐标变成齐次坐标,给x,y,z乘上同一个非零数w,然后扩大第4个轻重w;如若把一个齐次坐标转换成普通坐标,把前多少个坐标同时除以第4个坐标,然后去掉第4个轻重。

是因为齐次坐标使用了4个轻重来表述3D概念,使得平移变换可以使用矩阵展开,从而如F.S.
希尔,
JR所说,仿射(线性)变换的开展更进一步惠及。由于图片硬件已经大规模地支撑齐次坐标与矩阵乘法,因而尤其助长了齐次坐标使用,使得它就如成为图形学中的一个业内。

(1)从平常坐标转换成齐次坐标时

 如果(x,y,z)是个点,则变为(x,y,z,1);

(1)(3)是坐标系下发挥一个向量的差异说明方式。那里可以看到,纵然都是用代数分量的格局公布向量和点,但发布一个点比一个向量需要额外的信息。即便本身写出一个代数分量表明(1,
4, 7),哪个人知道它是个向量依然个点!

比如,写出一个代数分量表明(1, 4, 7),什么人知道它是个向量如故个点!

对此一个向量**v以及基oabc,可以找到一组坐标(v1,v2,v3),使得v=
v1
a+ v2b +v3c(1)**

上面是平时坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous
Coordinate)之间的变换:

比方是(x,y,z,1),则知道它是个点,变成(x,y,z);

而对此一个点**p**,则足以找到一组坐标(p1,p2,p3),使得

从地方对向量的表明,大家得以看看为了在坐标系中表示一个(如p),大家把点的地点看作是对那几个基的原点o所进行的一个平移,即一个向量——p

o(有的书中把那样的向量叫做岗位向量——初叶于坐标原点的特种向量),大家在发布那个向量的同时用等价的格局表明出了点p:p=o+
p1a +p2b+ p3c (3)

p – o = p1 a + p2 b + p3 c (2),

诸如此类,上面的(1, 4,
7)即使写成(1,4,7,0),它就是个向量;如果是(1,4,7,1),它就是个点。

对此一个向量**v以及基oabc**,可以找到一组坐标(v1,v2,v3),使得

 假使是(x,y,z,1),则知道它是个点,变成(x,y,z);

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