大家又会更青睐时间复杂度,在时光复杂度和空中复杂度之间

二分查找时间复杂度O(h)=O(log2n),具备相当高的频率,用R处理数据时有时候需要用到二分查找法以便迅速稳定

   
在上学算法的经过中,我们除了要打听某个算法的基本原理、实现情势,更关键的一个环节是拔取big-O理论来分析算法的复杂度。在岁月复杂度和空中复杂度之间,我们又会更侧重时间复杂度。

 

 1 Rbisect <- function(lst, value){
 2     low=1
 3     high=length(lst)
 4     mid=length(lst)%/%2
 5     if (lst[low]==value) low
 6     else if (lst[high]==value) high
 7     else{
 8     while (lst[mid] != value) {
 9       if (value > lst[mid]){
10         low = mid+1
11       } else if (value < lst[mid]) {
12         high = mid - 1
13       } 
14       if(high<low){
15          mid=-1;break
16       }
17       mid=(low+high)%/%2
18     }
19       mid
20 }
21 }

时光复杂度按优劣排差不多集中在:

来源:http://www.cnblogs.com/ider/archive/2012/04/01/binary_search.html

 

O(1), O(log n), O(n), O(n log n), O(n2), O(nk),
O(2n)

在攻读算法的进程中,大家除了要询问某个算法的基本原理、实现模式,更关键的一个环节是利用big-O理论来分析算法的复杂度。在时刻复杂度和空间复杂度之间,大家又会更讲究时间复杂度。

到如今职务,似乎我学到的算法中,时间复杂度是O(log
n),好像就数二分查找法,其他的例如排序算法都是
O(n log n)或者O(n2)。不过也正是因为有二分的 O(log n),
才让很多 O(n2)缩减到只要O(n log n)。

时刻复杂度按优劣排差不多集中在:

至于二分查找法

二分查找法紧如若缓解在“一堆数中找出指定的数”这类问题。

而想要应用二分查找法,这“一堆数”必须有眨眼之间间特色:

  • 储存在数组中
  • 不变排列

从而一旦是用链表储存的,就不可能在其上接纳二分查找法了。(曽在面试被问二分查找法可以怎么数据结构上使用:数组?链表?)

关于是各类递增排列依旧递减排列,数组中是不是存在同样的要素都没关系。不过貌似景观,我们依然期待并假如数组是与日俱增排列,数组中的元素互不相同。

O(1), O(log n), O(n), O(n log n), O(n2), O(nk),
O(2n)

二分查找法的骨干落实

二分查找法在算法家族大类中属于“分治法”,分治法基本都可以用递归来实现的,二分查找法的递归实现如下:

int bsearch(int array[], int low, int high, int target)
{
    if (low > high) return -1;

    int mid = (low + high)/2;
    if (array[mid]> target)
        return    binarysearch(array, low, mid -1, target);
    if (array[mid]< target)
        return    binarysearch(array, mid+1, high, target);

    //if (midValue == target)
        return mid;
}

   
 但是具有的递归都足以自行定义stack来解递归,所以二分查找法也可以不用递归实现,而且它的非递归实现甚至足以不用栈,因为二分的递归其实是尾递归,它不关注递归前的装有信息。

int bsearchWithoutRecursion(int array[], int low, int high, int target)
{
    while(low <= high)
    {
        int mid = (low + high)/2;
        if (array[mid] > target)
            high = mid - 1;
        else if (array[mid] < target)
            low = mid + 1;
        else //find the target
            return mid;
    }
    //the array does not contain the target
    return -1;
}

只用小于相比(<)实现二分查找法

   
 在前面的二分查找实现中,我们既用到了低于相比(<)也使用了不止比较(>),也恐怕还索要卓殊相比(==)。而实际大家只需要一个紧跟于比较(<)就足以。因为错逻辑上讲a>b和b<a应该是有一定的逻辑值;而a==b则是相当于
!((a<b)||(b<a)),也就是说a既不小于b,也不高于b。

     当然在先后的社会风气里,
这种关系逻辑其实并不是完全正确。另外,C++还同意对目的开展运算符的重载,由此开发人士完全能够肆意设计和贯彻那个关乎运算符的逻辑值。不过在整型数据面前,这么些涉嫌运算符之间的逻辑关系仍旧建立的,而且在付出过程中,我们仍然会遵照这么些逻辑等价关系来重载关系运算符。

干嘛要搞得那么羞涩,只用一个关系运算符呢?因为这么能够为二分查找法写一个template,又能减小对目标对象的要求。模板会是那样的:

template <typename T, typename V>
inline int BSearch(T& array, int low, int high, V& target)
{
    while(!(high < low))
    {
        int mid = (low + high)/2;
        if (target < array[mid])
            high = mid - 1;
        else if (array[mid] < target)
            low = mid + 1;
        else //find the target
            return mid;
    }
    //the array does not contain the target
    return -1; 
}

   
 我们只需要求target的品种V有重载小于运算符就可以。而对于V的集合类型T,则需要有[]运算符的重载。当然其里面贯彻必须是O(1)的复杂度,否则也就错过了二分查找的功能。

到当下职务,似乎我学到的算法中,时间复杂度是O(log
n),好像就数二分查找法,其他的比如说排序算法都是
O(n log n)或者O(n2)。然则也多亏因为有二分的 O(log n),
才让很多 O(n2)缩减到只要O(n log n)。

用二分查找法找寻边界值

事先的都是在数组中找到一个数要与目的相等,倘诺不存在则赶回-1。我们也足以用二分查找法找寻边界值,也就是说在不变数组中找到“正好大于(小于)目的数”的充足数。

用数学的表述情势就是:

    
在联谊中找到一个超乎(小于)目的数t的数x,使得集合中的任意数要么大于(小于)等于x,要么小于(大于)等于t。

举例来说来说:

赋予数组和对象数

int array = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17};
int target = 7;

那么上界值应该是11,因为它“刚刚好”大于7;下届值则是5,因为它“刚刚好”小于7。

 

用二分查找法找寻上届

//Find the fisrt element, whose value is larger than target, in a sorted array 
int BSearchUpperBound(int array[], int low, int high, int target)
{
    //Array is empty or target is larger than any every element in array 
    if(low > high || target >= array[high]) return -1;

    int mid = (low + high) / 2;
    while (high > low)
    {
        if (array[mid] > target)
            high = mid;
        else
            low = mid + 1;

        mid = (low + high) / 2;
    }

    return mid;
}

与纯粹查找不同之处在于,精确查找分成三类:大于小于等于(目标数)。而界限查找则分为了两类:大于不大于

一经当前找到的数超越目的数时,它恐怕就是我们要找的数,所以需要保留这些目录,也因而if
(array[mid] > target)时 high=mid; 而并未减1。

有关二分查找法

二分查找法一言九鼎是釜底抽薪在“一堆数中找出指定的数”这类问题。

而想要应用二分查找法,这“一堆数”必须有刹那间表征:

  • 仓储在数组中
  • 稳步排列

于是假使是用链表仓储的,就无法在其上运用二分查找法了。(曽在面试被问二分查找法可以怎么数据结构上应用:数组?链表?)

至于是各样递增排列仍旧递减排列,数组中是不是存在一样的要素都没事儿。不过貌似情状,我们依然希望并即使数组是与日俱增排列,数组中的元素互不相同。

 

用二分查找法找寻下届

//Find the last element, whose value is less than target, in a sorted array 
int BSearchLowerBound(int array[], int low, int high, int target)
{
    //Array is empty or target is less than any every element in array
    if(high < low  || target <= array[low]) return -1;

    int mid = (low + high + 1) / 2; //make mid lean to large side
    while (low < high)
    {
        if (array[mid] < target)
            low = mid;
        else
            high = mid - 1;

        mid = (low + high + 1) / 2;
    }

    return mid;
}

下届寻找基本与上届相同,需要小心的是在取中间索引时,使用了前进取整。若同往日同一采纳向下取整,那么当low
== high-1,而array[low] 又小于
target时就会形成死循环。因为low不能往上爬抢先high。

这三个落实都是找严加界限,也就是要高于或者小于。假设要找松散界限,也就是找到大于等于依然小于等于的值(即蕴涵我),只要对代码稍作修改就好了:

去掉判断数组边界的等号:

target >= array[high]改为 target > array[high]

在与中间值的可比中添加等号:

array[mid] > target改为array[mid] >= target

二分查找法的核心落实

二分查找法在算法家族大类中属于“分治法”,分治法基本都可以用递归来贯彻的,二分查找法的递归实现如下:

图片 1

int bsearch(int array[], int low, int high, int target)
{
    if (low > high) return -1;

    int mid = (low + high)/2;
    if (array[mid]> target)
        return    binarysearch(array, low, mid -1, target);
    if (array[mid]< target)
        return    binarysearch(array, mid+1, high, target);

    //if (midValue == target)
        return mid;
}

图片 2

 

要是从性质上考虑,也得以写成这么:

int binary_search(int array[] , int len , int value)
{
    int left = 0;
    int right = len - 1;
    while(left <= right){
        int middle = left + ((right - left) >> 1);

        if(array[middle] > value){
            right = middle - 1;
        }
        else if(array[middle] < value){
            left = middle + 1;
        }
        else
            return middle;

    }

    return -1;

}

问题:二分查找中值的计算

这是一个经典的话题,如何计算二分查找中的中值?

算法一: mid = (low + high) / 2

算法二: mid = low + (high – low)/2

乍看起来,算法一简洁,算法二提取之后,跟算法一没有什么区别。但是实际上,区别是存在的。算法一的做法,在极端情况下,(low + high)存在着溢出的风险,进而得到错误的mid结果,导致程序错误。而算法二能够保证计算出来的mid,一定大于low,小于high,不存在溢出的 问题。

测试代码:

#include<iostream>
using namespace std;

int binary_search(int array[] , int len , int value) 
{ 
    int left = 0; 
    int right = len - 1; 
    while(left <= right){ 
        int middle = left + ((right - left) >> 1); 

        if(array[middle] > value){ 
            right = middle - 1; 
        } 
        else if(array[middle] < value){ 
            left = middle + 1; 
        } 
        else
            return middle;          
    } 

    return -1;  
}

int main()
{
    int array[4] = {1 , 4 , 5 , 7};
    cout<<binary_search(array , 4 , 5)<<endl;

    system("pause");
    return 0;
}

 

只是拥有的递归都足以自行定义stack来解递归,所以二分查找法也可以不用递归实现,而且它的非递归实现甚至足以不用栈,因为二分的递归其实是尾递归,它不关注递归前的保有音信。

图片 3

int bsearchWithoutRecursion(int array[], int low, int high, int target)
{
    while(low <= high)
    {
        int mid = (low + high)/2;
        if (array[mid] > target)
            high = mid - 1;
        else if (array[mid] < target)
            low = mid + 1;
        else //find the target
            return mid;
    }
    //the array does not contain the target
    return -1;
}

图片 4

 

用二分查找法找寻区域

事先我们接纳二分查找法时,都是基于数组中的元素各不相同。假若存在重新数据,而数组依然不变,那么我们仍是可以够用二分查找法判别目的数是否留存。可是,重回的index就只能是任意的双重数据中的某一个。

此刻,我们会希望知道有稍许个对象数存在。或者说大家目的在于数组的区域。

组成前边的尽头查找,我们如若找到对象数的严峻上届和严格下届,那么界限之间(不包括界限)的数据就是目的数的区域了。

//return type: pair<int, int>
//the fisrt value indicate the begining of range,
//the second value indicate the end of range.
//If target is not find, (-1,-1) will be returned
pair<int, int> SearchRange(int A[], int n, int target) 
{
    pair<int, int> r(-1, -1);
    if (n <= 0) return r;

    int lower = BSearchLowerBound(A, 0, n-1, target);
    lower = lower + 1; //move to next element

    if(A[lower] == target)
        r.first = lower;
    else //target is not in the array
        return r;

    int upper = BSearchUpperBound(A, 0, n-1, target);
    upper = upper < 0? (n-1):(upper - 1); //move to previous element

    //since in previous search we had check whether the target is
    //in the array or not, we do not need to check it here again
    r.second = upper;

    return r;
}

它的命宫复杂度是五次二分查找所用时间的和,也就是O(log n) + O(log
n),最终仍旧O(log n)。

只用小于相比较(<)实现二分查找法

在前头的二分查找实现中,我们既用到了小于相比较(<)也运用了大于相比(>),也说不定还亟需相当相比较(==)。

而实际大家只需要一个紧跟于对比(<)就足以。因为错逻辑上讲a>b和b<a应该是有一定的逻辑值;而a==b则是相等于
!((a<b)||(b<a)),也就是说a既不小于b,也不超出b。

理所当然在程序的世界里,
这种关系逻辑其实并不是完全正确。此外,C++还允许对目的举办运算符的重载,因而开发人士完全可以自由设计和贯彻这些涉及运算符的逻辑值。

只是在整型数据面前,那多少个涉嫌运算符之间的逻辑关系仍然建立的,而且在开发进程中,我们如故会遵从这个逻辑等价关系来重载关系运算符。

干嘛要搞得那么羞涩,只用一个提到运算符呢?因为这样可以为二分查找法写一个template,又能减小对目标对象的渴求。模板会是如此的:

 

图片 5

template <typename T, typename V>
inline int BSearch(T& array, int low, int high, V& target)
{
    while(!(high < low))
    {
        int mid = (low + high)/2;
        if (target < array[mid])
            high = mid - 1;
        else if (array[mid] < target)
            low = mid + 1;
        else //find the target
            return mid;
    }
    //the array does not contain the target
    return -1; 
}

图片 6

大家只需要求target的品类V有重载小于运算符就足以。而对此V的集合类型T,则需要有[]运算符的重载。当然其内部贯彻必须是O(1)的复杂度,否则也就错过了二分查找的频率。

 

在滚动后的静止数组上运用二分查找法

前面大家说过二分法是要动用在有序的数组上,若是是无序的,那么相比较和二分就不曾意思了。

但是还有一种新鲜的数组上也一致可以拔取,这就是“轮转后的有序数组(Rotated
Sorted
Array)”。它是有序数组,取期中某一个数为轴,将其从前的所有数都轮转到数组的结尾所得。比如{7,
11, 13, 17, 2, 3,
5}就是一个滚动后的有序数组。非严苛意义上讲,有序数组也属于轮转后的稳步数组——大家取首元素作为轴举办滚动。

下边就是二分查找法在滚动后的有序数组上的落实(如果数组中不存在同样的要素)

int SearchInRotatedSortedArray(int array[], int low, int high, int target) 
{
    while(low <= high)
    {
        int mid = (low + high) / 2;
        if (target < array[mid])
            if (array[mid] < array[high])//the higher part is sorted
                high = mid - 1; //the target would only be in lower part
            else //the lower part is sorted
                if(target < array[low])//the target is less than all elements in low part
                    low = mid + 1;
                else
                    high = mid - 1;

        else if(array[mid] < target)
            if (array[low] < array[mid])// the lower part is sorted
                low = mid + 1; //the target would only be in higher part
            else //the higher part is sorted
               if (array[high] < target)//the target is larger than all elements in higher part
                    high = mid - 1;
                else
                    low = mid + 1;
        else //if(array[mid] == target)
            return mid;
    }

    return -1;
}

对照普通的二分查找法,为了确定目的数会落在二分后的非凡部分,我们需要更多的判定条件。然则大家依然促成了O(log
n)的对象。

用二分查找法找寻边界值

此前的都是在数组中找到一个数要与对象相等,假使不设有则赶回-1。我们也足以用二分查找法找寻边界值,也就是说在稳步数组中找到“正好大于(小于)目的数”的特别数。

用数学的发挥模式就是:

    
在联谊中找到一个超越(小于)目的数t的数x,使得集合中的任意数要么大于(小于)等于x,要么小于(大于)等于t。

 

举例来说:

赋予数组和目的数

int array = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17};
int target = 7;

那么上界值应该是11,因为它“刚刚好”大于7;下届值则是5,因为它“刚刚好”小于7。

二分查找法的先天不足

二分查找法的O(log
n)让它变成这一个连忙的算法。可是它的欠缺却也是那么泾渭显明的。就在它的界定之上:

务必有序,大家很难保证我们的数组都是稳步的。当然可以在构建数组的时候举行排序,不过又达到了第二个瓶颈上:它必须是数组

数组读取功用是O(1),然则它的插入和删除某个元素的频率却是O(n)。因此招致构建有序数组变成低效的事情。

缓解那些弱点问题更好的法子应该是应用二叉查找树了,最好自然是自平衡二叉查找树了,自能高效的(O(n
log n))构建有序元素集合,又能如同二分查找法一样急迅(O(log
n))的搜索目标数。

reference:

编程之美之二分查找总括

二分查找法的贯彻和动用汇总

 

 

 

用二分查找法找寻上届

图片 7

//Find the fisrt element, whose value is larger than target, in a sorted array 
int BSearchUpperBound(int array[], int low, int high, int target)
{
    //Array is empty or target is larger than any every element in array 
    if(low > high || target >= array[high]) return -1;

    int mid = (low + high) / 2;
    while (high > low)
    {
        if (array[mid] > target)
            high = mid;
        else
            low = mid + 1;

        mid = (low + high) / 2;
    }

    return mid;
}

图片 8

与标准查找不同之处在于,精确查找分成三类:大于小于等于(目标数)。而界限查找则分为了两类:大于不大于

如果当前找到的数超过目的数时,它恐怕就是我们要找的数,所以需要保留这个目录,也因而if
(array[mid] > target)时 high=mid; 而没有减1。

用二分查找法找寻下届

图片 9

//Find the last element, whose value is less than target, in a sorted array 
int BSearchLowerBound(int array[], int low, int high, int target)
{
    //Array is empty or target is less than any every element in array
    if(high < low  || target <= array[low]) return -1;

    int mid = (low + high + 1) / 2; //make mid lean to large side
    while (low < high)
    {
        if (array[mid] < target)
            low = mid;
        else
            high = mid - 1;

        mid = (low + high + 1) / 2;
    }

    return mid;
}

图片 10

下届寻找基本与上届相同,需要小心的是在取中间索引时,使用了向上取整。若同以前同一选择向下取整,那么当low
== high-1,而array[low] 又小于
target时就会形成死循环。因为low不可以往上爬超过high。

 

这多少个落实都是找严厉界限,也就是要压倒或者小于。假如要找松散界限,也就是找到大于等于仍然小于等于的值(即含有我),只要对代码稍作修改就好了:

去掉判断数组边界的等号:

target >= array[high]改为 target > array[high]

在与中间值的可比中充裕等号:

array[mid] > target改为array[mid] >= target

 

用二分查找法找寻区域

事先我们使用二分查找法时,都是依照数组中的元素各不相同。如若存在双重数据,而数组依旧不变,那么大家依然得以用二分查找法判别目的数是否存在。不过,再次来到的index就不得不是随便的再度数据中的某一个。

这时,我们会希望了然有稍许个目的数存在。或者说大家期望数组的区域。

组成后面的底限查找,我们假设找到对象数的从严上届和严刻下届,那么界限之间(不包括界限)的数据就是目的数的区域了。

 

图片 11

//return type: pair<int, int>
//the fisrt value indicate the begining of range,
//the second value indicate the end of range.
//If target is not find, (-1,-1) will be returned
pair<int, int> SearchRange(int A[], int n, int target) 
{
    pair<int, int> r(-1, -1);
    if (n <= 0) return r;

    int lower = BSearchLowerBound(A, 0, n-1, target);
    lower = lower + 1; //move to next element

    if(A[lower] == target)
        r.first = lower;
    else //target is not in the array
        return r;

    int upper = BSearchUpperBound(A, 0, n-1, target);
    upper = upper < 0? (n-1):(upper - 1); //move to previous element

    //since in previous search we had check whether the target is
    //in the array or not, we do not need to check it here again
    r.second = upper;

    return r;
}

图片 12

它的日子复杂度是五遍二分查找所用时间的和,也就是O(log n) + O(log
n),最终仍旧O(log n)。

 

在滚动后的稳步数组上使用二分查找法

事先大家说过二分法是要利用在有序的数组上,如果是无序的,那么相比较和二分就从未有过意义了。

但是还有一种分外的数组上也一如既往可以应用,这就是“轮转后的不变数组(Rotated
Sorted
Array)”。它是有序数组,取期中某一个数为轴,将其后面的所有数都轮转到数组的最终所得。比如{7,
11, 13, 17, 2, 3,
5}就是一个滚动后的稳步数组。非严酷意义上讲,有序数组也属于轮转后的不变数组——我们取首元素作为轴举办滚动。

下面就是二分查找法在滚动后的稳步数组上的兑现(尽管数组中不设有同样的因素)

 

图片 13

int SearchInRotatedSortedArray(int array[], int low, int high, int target) 
{
    while(low <= high)
    {
        int mid = (low + high) / 2;
        if (target < array[mid])
            if (array[mid] < array[high])//the higher part is sorted
                high = mid - 1; //the target would only be in lower part
            else //the lower part is sorted
                if(target < array[low])//the target is less than all elements in low part
                    low = mid + 1;
                else
                    high = mid - 1;

        else if(array[mid] < target)
            if (array[low] < array[mid])// the lower part is sorted
                low = mid + 1; //the target would only be in higher part
            else //the higher part is sorted
               if (array[high] < target)//the target is larger than all elements in higher part
                    high = mid - 1;
                else
                    low = mid + 1;
        else //if(array[mid] == target)
            return mid;
    }

    return -1;
}

图片 14

比较普通的二分查找法,为了确定目的数会落在二分后的非凡部分,我们需要更多的判断条件。不过我们如故促成了O(log
n)的目的。

 

二分查找法的弱点

二分查找法的O(log
n)让它成为很是连忙的算法。然则它的老毛病却也是那么领悟的。就在它的限制之上:

务必有序,大家很难保证我们的数组都是一成不变的。当然可以在构建数组的时候举行排序,不过又达到了第二个瓶颈上:它必须是数组

数组读取效用是O(1),不过它的插入和删除某个元素的频率却是O(n)。因而造成构建有序数组变成低效的事情。

 

缓解那些老毛病问题更好的不二法门应该是使用二叉查找树了,最好自然是自平衡二叉查找树了,自能高效的(O(n
log n))构建有序元素集合,又能如同二分查找法一样便捷(O(log
n))的物色目的数。

 

参考:http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7093204

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